Bilasizmi?

5322 marta o'qildi
ARIFMETIKA VA ALGEBRA

Arifmetika ham, algebra ham juda qadimgi fanlardan hisoblanadi... Mana, eshiting: kunlardan bir kuni bir podsho, kimki ushbu masalani hammadan yaxshiroq hal qilsa, tilagini ado etishini bildirdi. U masalaning shartini aytdi:

Arifmetika ham, algebra ham juda qadimgi fanlardan hisoblanadi... Mana, eshiting: kunlardan bir kuni bir podsho, kimki ushbu masalani hammadan yaxshiroq hal qilsa, tilagini ado etishini bildirdi. U masalaning shartini aytdi:

“Men uchta idishda marvarid saqlar edim. Katta o‘g‘limga - birinchi idishdagi marvaridlarning yarmini, o‘rtancha o‘g‘limga ikkinchi idishdagi marvaridlarning uchdan bir qismini, kichik o‘g‘limga esa uchinchi idishdagi marvaridlarning faqat chorak qismini sovg‘a qildim. So‘ngra men katta qizimga birinchi idishdagi marvaridlardan to‘rtta eng yaxshisini, o‘rtancha qizimga ikkinchi idishdagi marvaridlardan oltitasini, kichik qizimga esa uchinchi idishdagi marvaridlardan faqat ikkitasini hadya qildim. Shunda birinchi idishda 38 ta, ikkinchi idishda 12 ta, uchinchi idishda esa 19 ta marvarid qoldi. Men har bir idishda qanchadan marvarid saqlagan ekanman?” Bu masalani yechish uchun saroyga turli mamlakatlardan uch donishmand keldi. Birinchi donishmand podshoga ta’zim qilib shunday dedi: – E, ulug‘ shoh, birinchi idish  da 38 ta marvarid qolgan edi, Siz katta qizingizga 4 ta marvarid hadya qilgan edingiz, ana shu 42 ta marvarid birinchi idishdagi marvaridlarning yarmini tashkil qildi. Siz idishdagi marvaridlarning birinchi yarmini katta o‘g‘ilingizga sovg‘a qilgansiz. Demak, birinchi idishda 84 ta marvarid bo‘lgan.

Ikkinchi idishda 12 marvarid qolgan edi, Siz ikkinchi qizingizga 6 ta marvarid hadya qilgan edingiz. Ana shu 18 ta marvarid ikkinchi idishdagi marvaridlarning uchdan ikki qismini tashkil qildi. Siz ikkinchi o‘g‘lingizga idishdagi marvaridlarning uchdan bir qismini sovg‘a qilgan edingiz. Demak, ikkinchi idishda 27 ta marvarid bo‘lgan ekan.

Endi, uchinchi idishga kelsak, unda 19 ta marvarid qolgan edi, Siz kichik qizingizga 2 ta marvarid hadya qilgan edingiz. Ana shu 21 ta marvarid uchinchi idishdagi marvaridlarning to‘rtdan uch qismini tashkil qiladi. Siz kichik o‘g‘lingizga idishdagi marvaridlarning to‘rtdan bir qismini sovg‘a qilgan edingiz. Demak, bu idishda 28 ta marvarid bo‘lgan. Podsho donishmandning bila­g‘onligiga qoyil qoldi va undan mas­alani qanday yechganligini so‘radi.

– Bu masalani yechishimga sonlarning xossalari va ularni hisoblash qoidalari haqidagi fan — arifmetika yordam berdi, – dedi donishmand.– Bu fan juda qadimiy: odamlar minglab yillardan beri hisoblashni bilishadi. Bu fanning nomi yunoncha “arifmos”, ya’ni “son” so‘zidan kelib chiqqan.

 – Endi senga navbat, – murojaat qildi podsho  ikkinchi donishmandga.

–– E, ulug‘ shoh. Men birinchi idishda qancha marvarid bo‘lganligini bilmayman. Shu­ning uchun ularning sonini “iks” – x harfi bilan belgiladim, ya’ni Siz katta o‘g‘lingizga idishdagi marvaridlarning yarmini – x/2 ni sovg‘a qilgansiz. Agar men iksdan unga tegishli yarim ulushni va yana qizingizga sovg‘a qilingan to‘rtta marvaridni ayirsam, qolgan marvaridlarni 38 ga tenglashtirish kerak. Buning uchun mana bunday tenglama tuzdim:

Agar x dan katta o‘g‘lingizga tegishli yarim ulushni ayirsak, x ning yarmi qoladi, to‘rtni esa 38 ga qo‘shish kerak, ya’ni x / 2 = 42. Demak, x ning o‘zi ikki marta katta: x=84. Demak, birinchi idishda 84 ta marvarid bo‘lgan.

Ikkinchi idishdagi marvaridlar sonini  topish uchun esa Siz o‘g‘lingizga sovg‘a qilgan uchdan bir ulushni va yana oltita marvaridni iksdan ayirish kerak. Bu farqni men 12 ga teng­lashtirdim. Natijada shunday tenglama hosil bo‘ldi:

Bu tenglamani yechish qiyin emas,  x ning uchdan ikki qismi 18 ga teng:

Demak, ikkinchi idishda 27 ta marvarid bo‘lgan: x=27 ta.

Xuddi shunday mulohaza yuritib, uchinchi idish uchun ushbu tenglamani tuzdim:

Bundan shu narsa ma’lum bo‘ldiki, uchinchi idishda 28 ta marvarid saqlangan: x=28.

... Hozir bunday masalalarni hatto quyi sinf o‘quvchilari ham yecha olishadi, chunki ular iks­ni allaqachonoq bilishadi, ya’ni yuqoridagi masalani  yechishga yordam bergan algebra bilan tanisha boshlashgan...

– Sening yechiming ham menga ma’qul, – dedi podsho. –Qani, sen nima deysan? – uchinchi donishmandga o‘girildi u.

U podshoga ta’zim qildi va hech narsa demasdan unga qog‘oz varag‘ini uzatdi.

Qog‘ozda esa quyidagilar yozilgan edi:

shu yerning o‘zida uning javobi ham yozilgan edi:

– Men buningdan hech narsani tushunmadim! — podshoning achchig‘i chiqdi.
– Buning ustiga, nima uchun javob faqat bitta? Axir menda uchta idish bo‘lgan-ku!

Donishmand kulimsirab dedi:

– Uchta javobning hammasi shu bitta javobda aks etgan, chunki masalalar mutlaqo bir xil, faqat sonlar har xil, xolos. Men masalaning yechimini soddalashtiribgina qolmay, balki uchta yechimni bittaga birlashtirdim. Men ham har bir idishdagi marvaridlar sonini noma’lum son orqali belgiladim. Men Siz har qaysi o‘g‘lingizga sovg‘a qilgan marvaridlar ulushini a bilan, qizlaringizning har qaysisiga hadya qilin­gan marvaridlar sonini b bilan, va, nihoyat, har bir idishda qolgan marvaridlar sonini s bilan belgiladim. Endi Siz shu harflar o‘rniga o‘z masalangizda aytgan sonlarni qo‘ysangiz, to‘g‘ri javoblarni olasiz. Sizda, aytaylik, 100 taidish, 100 ta o‘g‘il va 100 ta qiz bo‘lganda ham 100 ta javobni olish uchun mening shu bittagina tenglamam yetarli bo‘ladi. Bu masalani yechishda ham algebra yordam berdi.

Podsho bu javobdan ham mamnun bo‘ldi.

Arifmetika va algebra fanlarining rivojlanishida o‘rta asr sharq olimlarining hissasi benihoya katta. Masalan, arifmetika rivojining­ eng muhim bosqichlari asosan Hindiston madaniyatining taraqqiyoti bilan bog‘lanadi. Arifmetika dastlab hisoblash va sodda o‘lchovlar natijasida rivoj topgan bo‘lsa, keyinchalik boshqa fanlarga tatbiq etilishi oqibatida yanada tez sur’atlarda taraqqiy etdi.

Algebra esa 1000 yildan ham avvalroq Xorazmda paydo bo‘lgan. “Algebra” so‘zi asli­da Muhammad al-Xorazmiy yozgan “al-Jabr” kitobining yevropacha talaffuzidir. Buyuk o‘zbek olimi Muhammad al-Xorazmiy o‘z asarida dun­yoda birinchi bo‘lib algebrani izchil bayon etib bergan. Algebra ham xuddi arifmetikaning o‘zi, lekin algebrada sonlar bilan birga harflar ham ishlatiladi, harflar orqali istalgan sonni belgilash mumkin. Algebra bir-biriga o‘xshash juda ko‘p masalalarning eng qisqa va eng umumiy yechimini topishga yordam beradi. Siz kattaroq bo‘lganingizda yana boshqa murakkabroq masalalarni yechishni ham  bilib olasiz. Ularni ham algebra hal qiladi. 


Orqaga qaytish